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Réponse:
1. **Définition de la période radioactive :**
La période radioactive (ou demi-vie) d'un élément radioactif est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon se désintègrent. Autrement dit, après une période radioactive, il reste 50% des noyaux initiaux.
2. **Composition et lois de conservation :**
2.1. **Composition d'un noyau de césium 137 :**
Un noyau de césium 137 (\(^{137}_{55}\text{Cs}\)) contient 55 protons et 82 neutrons (137 - 55 = 82).
2.2. **Lois de conservation au cours d'une réaction nucléaire :**
Lors d'une réaction nucléaire, deux lois de conservation doivent être respectées :
- La loi de conservation du nombre de nucléons (le nombre total de protons et de neutrons est conservé).
- La loi de conservation de la charge électrique (le nombre total de protons est conservé).
2.3. **Type de radioactivité ou de désintégration du noyau de césium 137 :**
Le césium 137 (\(^{137}_{55}\text{Cs}\)) se désintègre principalement par émission bêta (\(\beta^-\)), ce qui signifie qu'un neutron se transforme en proton, en émettant un électron (\(e^-\)) et un antineutrino (\(\bar{\nu}_e\)).
3. **Équation-bilan de la désintégration du césium 137 :**
La désintégration du césium 137 en baryum 137 (\(^{137}_{56}\text{Ba}\)) peut être écrite comme suit :
\[
^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + e^- + \bar{\nu}_e
\]
4. **Détermination de la constante radioactive et du nombre de noyaux restants :**
4.1. **Constante radioactive \(\lambda\) :**
La constante de désintégration radioactive \(\lambda\) est liée à la période radioactive \(T\) par la relation suivante :
\[
\lambda = \frac{\ln(2)}{T}
\]
En utilisant \(T = 30\) ans :
\[
\lambda = \frac{\ln(2)}{30 \text{ ans}} \approx \frac{0.693}{30} \approx 0.0231 \text{ ans}^{-1}
\]
4.2. **Nombre \(N\) de noyaux radioactifs présents dans le sac :**
Le nombre de noyaux restants après un temps \(t\) est donné par la formule :
\[
N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}
\]
Où :
- \(N_0\) est le nombre initial de noyaux,
- \(\lambda\) est la constante de désintégration,
- \(t\) est le temps écoulé.
En 2023, 12 ans après 2011, \(t = 12\) ans, \(N_0 = 10^9\) et \(\lambda \approx 0.0231 \text{ ans}^{-1}\) :
\[
N(12) = 10^9 \cdot e^{-0.0231 \cdot 12}
\]
Calculons l'exponentielle :
\[
e^{-0.0231 \cdot 12} \approx e^{-0.2772} \approx 0.758
\]
Donc,
\[
N(12) \approx 10^9 \cdot 0.758 \approx 7.58 \times 10^8
\]
Ainsi, le nombre de noyaux de césium 137 encore présents dans l'échantillon en 2023 est d'environ \(7.58 \times 10^8\).