Répondre :
Bonjour,
Réponse :
Introduction :
Nous devons trouver un nombre [tex]n[/tex] d'élèves tel que :
- [tex]n \equiv 9 \pmod{18}[/tex]
- [tex]n \equiv 9 \pmod{20}[/tex]
- [tex]n \equiv 9 \pmod{24}[/tex]
Ces conditions indiquent que lorsqu'on répartit les élèves en groupes de [tex]18[/tex], [tex]20[/tex] ou [tex]24[/tex], il reste toujours [tex]9[/tex] élèves. Cela signifie que [tex]n - 9[/tex] est un multiple commun de [tex]18[/tex], [tex]20[/tex] et [tex]24[/tex].
Calcul de k :
Nous devons donc trouver le plus petit nombre [tex]k[/tex] tel que [tex]k[/tex] soit un multiple de ces trois nombres. Pour ce faire nous allons déterminer le PPMC de [tex]18[/tex], [tex]20[/tex] et [tex]24[/tex] .
Décomposons ces nombres en facteurs premiers :
▪ [tex]18 = 2 \times 3^2[/tex]
▪ [tex]20 = 2^2 \times 5[/tex]
▪ [tex]24 = 2^3 \times 3[/tex]
Le PPCM de [tex]18[/tex], [tex]20[/tex] et [tex]24[/tex] est obtenu en prenant le maximum des puissances de chaque facteur premier :
▪ Pour [tex]2[/tex], le maximum est [tex]2^3[/tex]
▪ Pour [tex]3[/tex], le maximum est [tex]3^2[/tex]
▪ Pour [tex]5[/tex], le maximum est [tex]5[/tex]
→ Le PPCM est :
[tex]\text{PPCM}(18, 20, 24) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = \boxed{360}[/tex]
Calcul de m :
Maintenant, nous devons trouver [tex]n[/tex] tel que :
[tex]n = 360m + 9[/tex] où [tex]m[/tex] est un entier, et [tex]500 \leq n \leq 1000[/tex]
Calculons les valeurs possibles de [tex]m[/tex] :
[tex]500 \leq 360m + 9 \leq 1000\\\\\\491 \leq 360m \leq 991\\\\\\\dfrac{491}{360} \leq m \leq \dfrac{991}{360}\\\\\\1,36 \leq m \leq 2,75[/tex]
Comme [tex]m[/tex] doit être un entier, la valeur possible de [tex]m[/tex] est [tex]2[/tex].
Calcul de n :
Calculons [tex]n[/tex] pour [tex]m = 2[/tex] :
[tex]n = 360 \times 2 + 9 = 720 + 9 = \boxed{729}[/tex]
Conclusion :
Le nombre d'élèves dans le lycée est 729.
Bonne journée !
Bonjour,
a) 609
609-9 = 600
600/18 =33,.....
b) 709
709-9 = 700
700/18 = 38,888...
c)729
729-9 = 720
720/18=40
720/20 = 36
720/24 = 30
d) 809
809-9 = 800
800/18 = 44,...
Donc, 729 élèves