Réponse :
Explications étape par étape :
u(n) en fonction de n ?
u(0) = -3
u(1) = u(0) + 10/3
u(2) = u(1)+10/3 = u(0)+ 10/3+ 10/3 = -3 + 2*10/3
Bien. Supposons que :
u(n) = -3 + n*10/3
démontrons alors que :
u(n+1) = -3 + (n+1)*10/3
Par définition :
u(n+1) = u(n) + 10/3
= (-3 + n*10/3)+10/3
= -3 + (n+1)*10/3
ce qu'il fallait démontrer.
Donc, ∀ n ∈ N , u(n) = -3 + 10n/3
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S= u(10) + u(11) + ... + u(20) = ?
S= u(10) + u(11) + ... + u(20) =
-3 + 10*10/3 +
-3 + 11 *10/3 +
... +
-3 + 20 *10/3
cette somme comporte 11 fois l'expression de u(n)
Il y a donc 11 fois -3 + (10+11+....+20)*10/3
S = -33 + (10+11+ ...+20) * 10/3
A quoi est égal X = (10+11+ ...+20) ?
C'est égal à la somme de entiers de 1 à 20 MOINS la somme des entiers de 1 à 9
A quoi est égal la somme des n premier entiers , P(n) ?
P(n) = 1 + 2 +...+ (n-1) + n
P(n) = n + (n-1) + ...+ 2 + 1
2*P(n) = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) soit n+1 , ceci n fois
= n*(n+1)
donc :
P(n) = n*(n+1) /2
Finalement :
P(20) = 20*21/2
P(9) = 9*10/2
P(20) - P(9) = (20*21 - 9*10) / 2
= (420 - 90) /2
= 330/2
= 115
donc X = 115
donc S = -33 + (10+11+ ...+20) * 10/3
= -33 + 115 * 10/3
= -33 + 1150/3
S= u(10) + u(11) + ... + u(20) = -33 + 1150/3
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Suite 10/3 * u(n) en fonction de n ?
u(0) = -3
u(1) = 10/3 * u(0) = 10/3 * (-3) = -10
u(2) = 10/3 * u(1) = 10/3 * (-10) = - 10² /3
u(3) = 10/3 * u(2) = 10/3 * ( - 10² /3) = - 10³ / 3²
Ok.
Supposons que :
u(n) = - 10 puissance n / 3 puissance (n-1)
et démontrons que :
u(n+1) = - 10 puissance (n+1) / 3 puissance (n)
Par définition :
u(n+1) = 10/3 * u(n)
= 10/3 * (- 10 puissance n / 3 puissance (n-1))
= - 10 puissance (n+1) / 3 puissance (n)
Nous avons démontré que :
u(n) = - 10 puissance n / 3 puissance (n-1)
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Une suite w(n) est dite arithmétique si pour tout n entier naturel on a:
w(n+1) = w(n) + r où r est la raison de cette suite.
Ici, r = 3
Exprimons w (n+1) en fonction de w(n)
w(n+1) = w(n) + 3
