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Par règle de trois tu déduis que le gardien parcourt, en canot, 1 km en 1/4h et cette même distance, à pied, lui prendra 1/5h.
Le chemin suivi par le gardien se divise en deux temps: le temps t1 pour aller de A à M soit le temps pour parcourir l'hypoténuse du triangle MAH, rectangle en H ajouté au temps t2 pour aller de M à B et parcourir le restant HB - x.
La mesure de l'hypoténuse, en fonction des données que l'on possède, s'exprimant par: √(9 au carré + x au carré). La première partie du chemin étant effectuée sur mer, point de vue temps, on peut donc poser: t1 = √(9 au carré + x au carré)/ 4.
La seconde partie du chemin se faisant par voie terrestre, on aura alors t2 = (15 - x)/ 5. La fonction f(x) représentant le temps de parcours à minimiser sera par conséquent: f'x) = t1 + t2 = √(81 + x au carré)/ 4 + (15 - x)/ 5.
Afin de connaître le minimum de f, tu vas en calculer la dérivée et voir pour quelle valeur de x celle-ci s'annule!
Dérivée de f: f'(x) = (√(81 + x au carré)/ 4 + (15 - x)/ 5)'
= (√81 + x au carré)/ 4)' + ((15 - x)/ 5)'
= 1/4 (√81 + x au carré)' + 1/5 (15 - x)'
= 1/4 (81 + x au carré)' / 2√(81 + x au carré) + 1/5 fois (-1)
= 1/4 fois 2x / 2√(81 + x au carré) - 1/5
= 1/4 fois x / √(81 + x au carré) - 1/5.
f'(x) = 0 => 1/4 fois x / √(81 + x au carré) - 1/5 = 0
=> x / √(81 + x au carré) = 4/5
or x étant une longueur... x > 0; ce qui nous donne le droit d'élever au carré les membres de notre équation.
On obtient ainsi: x au carré / (81 + x au carré) = (4/5) au carré, soit x au carré / (81 + x au carré) = 16/25.
Il résulte du produit en croiX que: x au carré = 16 (81 + x au carré)/ 25
et par distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans lR: x au carré = [16 fois 81 + 16 (x au carré)] / 25
x au carré = [1296 + 16 (x au carré)] / 25 = 1296/25 + 16/25 (x au carré)
en regroupant les "carrés", x au carré - (16/25 (x au carré)) = 1296/25
en appliquant derechef la distributivité, (1 - 16/25) (x au carré) = 1296/25
et donc 9/25 (x au carré) = 1296/25
en simplifiant par 25 on se retrouve avec: 9(x au carré) = 1296
(<)=> x au carré = 1296/9 = 144.
D'où x = +√144 = 12.