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résolu

bonjour, J'aurais besoin d'aide s'il vous plait : On considère une population d'insectes de 15000 individus. Un virus, bien installé , décime la population de 20% par an. De plus, les intemperies conduisent a une perte annuelle de 200 individus supplémentaire. On souhaite étudier la possibilité pour cette population d'être totalement décimée. Pour tout entier n on désigne par P n le nombre d'individus dans la population apres n années. On crée ainsi une suite (P n) 1) Calculer les populations P0, P1 et P2. 2) Pour tout entier n, exprimer Pn+1 en fonction de Pn. Ici j'avais trouvé : Un+1= [Un-(Unxq)]-200 3) On considère la suite (Qn)n définie par : Qn=Pn+1000 Montrer que la suite (Qn)n est une suite géométrique. Exprimer alors, pour tout entier n, Qn en fonction de n puis Pn en fonction de n. 4) Quelle est la limite de la suite (Pn)n ? Pensez vous que la population sera décimée au bout d'un certain temps ? Si oui, au bout de combien d'années la population sera-t-elle complétement décimée ? J'ai fais la 1 et la 2 mais impossible de faire la 3 et 4

Répondre :

oceanndu93

1) Po=15000
P1=15000*(1-0.2)-200
P2=P1*0.8-200

2) tu sais que d'une année sur l'autre la population diminue de 20%, donc le coefficient multiplicateur de  P_n  à  P_n_+_1  est 0.8 et il y a une perte de 200 individus d'une année sur l'autre en plus, on donc :

P_n_+_1  =  0.8*P_n  - 200

à toi de continuer car le reste en découle!!

après calculs tu devrais trouver :

Q_n = 16000*0.8^n  et  P_n = 16000*0.8^n - 1000

et la population devrait s'éteindre entre 12 et 13 ans plus tard.

3) (suite geometrique) tu  sais  que  Q_n = P_n + 1000,
donc Qn+1 = Pn+1 + 1000
or,  P_n_+_1 = 0.8P_n -200
donc  Q_n_+_1 = 0.8P_n -200 + 1000 = 0.8P_n + 800 = 0.8(P_n + 1000) = 0.8Q_n


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