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On considère un rectangle ABCD tel et que AB=1 et BC=√2.
On appelle E le milieu de [BC] et K le point d'intersection de (AE) et (BD).
1) a. Faire une figure.
Cf. fichier joint.
b. Calculer AE et BD.
Selon le théorème de Pythagore, on a : AE² = AB² + BE²
= AB² + (BC/2)²
et : BD² = AB² + AD²
= AB² + BC²
D'où : AE = √[1² + (√2/2)²]
= √(1 + 2/4)
= √(3/2)
et : BD = √(1² + √2²)
= √(1 + 2)
= √3
On veut démontrer, de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
2) 1ère méthode
a) En utilisant le théorème de Thalés, calculer AK et BK.
Selon le théorème de Thalès, puisque :
— (AD) // (BE) par construction
— D, K et B ainsi que A, K et E sont alignés dans le même ordre
on a : AD/EB = DK/KB = EK/KA = 2/1
autrement dit : AK = 2/3 AE
= 2/3 × √(3/2)
= 2√(3/2)/3
et : BK = 1/3 BD
= 1/3 × √3
= √3/3
b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.
or : AK² + KB² = [2√(3/2)/3]² + [√3/3]²
= [(4 × 3/(2 × 9)] + [3/9]
= (2/3) + (1/3)
= 1
= 1²
= AB²
d'où, selon le théorème de Pythagore, le triangle AKB est rectangle en K
On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)
3) 2ème méthode
a) Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC.
Comme (BD) est une diagonale de ABCD,
elle croise l'autre diagonale [AC] en son milieu
d'où (BD) partant du sommet B pour couper [AC] en son milieu
est donc une médiatrice de ABC.
Comme E est le milieu de [BC]
(AE) partant du sommet A pour couper [BC] en son milieu
est donc une médiatrice de ABC.
b) En déduire les valeurs de AK et BK. Conclure.
(AK) et (BK) étant toutes deux médiatrices de ABC,
on a : AK = 2/3 × AE
et BK = 2/3 × 1/2 BD
= 1/3 × BD
En reprenant le calcul précédemment mis, on trouve que :
AK² + KB² = AB²
d'où, selon le théorème de Pythagore, le triangle AKB est rectangle en K
On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)
4. 3ème méthode
a) On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM.
Selon le théorème de Pythagore, on a : EM² = MC² + CE²
= (AB/2)² + (BC/2)²
et : AM² = DM² + AD²
= (AB/2)² + BC²
D'où : EM = √[(1/2)² + (√2/2)²]
= √(1/4 + 2/4)
= √(3/4)
et : AM = √[(1/2)² + (√2)²]
= √(1/4 + 2)
= √(9/4)
= 3/2
b) En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.
On a ainsi : AE² + EM² = (√3/2)² + √(3/4)²
= 3/2 + 3/4
= 9/4
= (3/2)²
= AM²
Donc, selon le théorème de Pythagore, AEM est rectangle en E
D'où (EM) ⊥ (AE)
Or, selon le théorème de Thalès, puisque :
— D, M et C ainsi que B, E et C sont alignés dans le même ordre,
— E et M étant les milieux respectifs de [BC] et [DC]
ce qui fait que DM/DC = BE/BC
on a (DB) // (EM)
Donc, puisque (DB) // (EM)
et (EM) ⊥ (AE),
alors (DB) ⊥ (AE)
5. 4ème méthode.
a) Montrer que les angles BÂE et DBC ont le même sinus.
sin BAE = BE/AE
= (√2/2)/√(3/2)
= √(2/4) × √(2/3)
= √(4/12)
= √(1/3)
sin DBC = DC/BD
= AB/BD
= 1/√3
= √1/√3
= √(1/3)
d'où sin BAE = sin DBC = √(1/3)
b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.
Or ABK = ABE − KBE
= ABE − DBC
= 90° − BAE
D'où ABK + BAE = 90°
Donc AKB = 180° − (ABK + BAE)
= 180° − 90°
= 90°
Aussi AKB est-il rectangle en K.
On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)
