Website Statistics On considère les paraboles P1 et P2 dequations respectibvesyx1 et yx1On se propose de determiner le nombre de tangentes communes aux deux courbes et les coordon
résolu

On considère les paraboles P1 et P2 d'equations respectib=ves:
y=x²+1 et y=-x²-1
On se propose de determiner le nombre de tangentes communes aux deux courbes et les coordonnees des points de contact.
1. Tracer ces deux paraboles dans un repere
2) Le dessin suggere quil existe deux tangentes communes
Dessiner ces deux tangentes.
3. Soit A le point de contact, d'abscisse a , de l'un des tangentes avec la courbe P1
B est le point de contact de la meme tangenete avec la courbe P2
En utilisant la symetrie de la figure, determiner les coordonnees de A et de B
4) Calculer de deux facons differentes , le coefficient directeur de la droite AB
EN resolvant lequation, determiner les valeurs de a possible. conclure

Répondre :

Lilouscooby
Je vais détailler ce que j'ai fais pour le 2)

J'ai commencé par calculer les dérivés de chaque équations, soit
y=4x et y=-2x+6, respectivement.

J'ai ensuite calculé la tangente à chaque droite en un point a pour y=2x²+1 et en un point b pour y=-x²+6x-5, soit
y'=y'(a)(x-a)+y(a) y'=y'(b)(x-b)+y(b)
y'=4a(x-a)+2a²+1 y'=(-2b+6)(x-b)-b²+6b-5
y'=4ax-2a²+1 y'=(-2b+6)x+b²-5

étant donné que l'on veut des tangentes communes de la forme mx+p, nous pouvons dire que 4a=-2b+6 et -2a²+1=b²-5

nous pouvons donc exprimer 4a=-2b+6 sous la forme b=-2a+3

si l'on remplace b par -2a+3 dans -2a²+1=b²-5, nous obtenons au final après calculs 2a²-4a+1=0
je calcule le discriminant, il vaut 8, donc deux solutions :
a1=1-(racine de 2)/2 et a2=1+(racine de 2)/2

je remplace alors dans 4a=-2b+6 a par a1 : j'obtiens b1=1+(racine de 2)
pareil pour a2, j'obtiens b2=1-(racine de 2)

Au final, j'ai deux couples :
a1,b1 1-(racine de 2)/2, 1+(racine de 2)

a2,b2 1+(racine de 2)/2, 1-(racine de 2)


Voilà le problème : que faire de ces couples de points. Une idée m'est passé par la tête : étant donné que ce sont des abcisses,a1 et a2 appartenant à la parabole y=2x²+1, et b1 et b2 appartenant à y=-x²+6x-5, il me suffisait de reporter les points sur les figures respectives et de tracer les droites (a1,b1) et (a2,b2) pour obtenir les tangentes communes. Mais je ne suis pas sur de çela.
isapaul
Bonjour
P1  d'équation y = x²+1     dérivée P ' 1      y = 2x 
P2 d'équation  y =-x²-1      dérivée P ' 2  y = -2x 
Coefficient directeur d'une tangent a = 2  alors que pour l'autre tangente coefficient directeur a = -2 
équation des tangentes    2x  et -2x
donc A (1 ; 2)  sur P1    et B(-1 ; -2) sur P2 
donc C (-1 ; 2)  sur P1  et  D (1 ; -2) sur P2 

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