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Un nombre est gentil s'il est multiple des 10 premiers nombre entiers non nuls
Donc un nombre est gentil s'il est multiple
de 1, de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8, de 9 et de 10
a. Expliquer pourquoi 10 080 est gentil.
10 080 est gentil parce qu'il est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10.
Il est en effet divisible :
— par 1 puisque : 10 080 ÷ 1 = 10 080 ;
— par 2 puisque : 10 080 ÷ 2 = 5 040 ;
— par 3 puisque : 10 080 ÷ 3 = 3 360 ;
— par 4 puisque : 10 080 ÷ 4 = 2 520 ;
— par 5 puisque : 10 080 ÷ 5 = 2 016 ;
— par 6 puisque : 10 080 ÷ 6 = 1 680 ;
— par 7 puisque : 10 080 ÷ 7 = 1 440 ;
— par 8 puisque : 10 080 ÷ 8 = 1 260 ;
— par 9 puisque : 10 080 ÷ 9 = 1 120 ;
— par 10 puisque : 10 080 ÷ 10 = 1 008.
b. Trouver le plus petit nombre gentil en expliquant la recherche
Cela revient à chercher le plus petit diviseur commun à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Or tout nombre est divisible :
— par 10 s'il est divisible par 2 et par 5, puisque : 10 = 2 × 5
— par 9 s'il est deux fois divisible par 3, puisque : 9 = 3 × 3
— par 8 s'il est trois fois divisible par 2, puisque : 8 = 2 × 2 × 2
— par 6 s'il est divisible par 2 et par 3, puisque : 6 = 2 × 3
— par 4 s'il est deux fois divisible par 2, puisque : 8 = 2 × 4
— par 1 s'il est entier, soit s'il est divisible par un entier.
Pour obtenir le plus petit nombre gentil, suffit donc de faire le produit suivant :
2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520
soit, dans un autre ordre : 2 × 3 × 2 × 5 × 7 × 2 × 3 = 2520
Qui est donc le diviseur commun à tous les nombres gentils.