Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0 ;1), B(1 ;2) et C(2 ;0) (voir pièce jointe)
D est une droite d’équation y=ax+b. On dit que la droite D passe « au plus près » des points A,B et C
Lorsque la somme S=A1A² + B1B² +C1C² est minimale où A1, B1 et C1 sont les points de D qui ont pour abscisse respectives 0,1 et 2.
1) Onse propose de déterminer, parmi toutes les droites de coefficient directeur -1/2, celle qui passe « au plus près » des points A,B et C .
a) Déterminer les coordonnées des points A1, B1 et C1
b) Calculer S en fonction de b
c) Quelle est la valeur de b qui minimise S ?
2)Déterminer, parmi toutes les droites D d’ordonnée à l’origine 3/2, celle qui passe »au plus près » des points A, B et C
en détaillant les résultats le plus possible s'il vous plaît :)
1a soit y=-x/2+b la droite envisagée alors :
A1(0,b) B1(1,b-1/2) C1(2,b-1)
1b S vaut donc (b-1)²+(2-b+1/2)²+(b-1)²=3b²-9b+33/4
1c minimum pour b=9/6=3/2
2 on reprend le problème "à l'envers" : soit y=ax+3/2 la droite,
alors A1(0;3/2) B1(1,a+3/2) C1(2,2a+3/2) donnent
AA1=1/2 BB1=2-a-3/2=-1/2-a CC1=2a+3/2 donc
S=1/4+(1/4+a+a²)+(4a²+6a+9/4)=5a²+7a+11/4
et S minimale pour a=-7/10