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Réponse : Bonjour .
Explications étape par étape : Je vais vous guider à travers chaque étape pour résoudre cet exercice sur les fonctions.
1. Déterminer l'ensemble de définition de f :
L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Dans ce cas, la fonction f est définie pour toutes les valeurs de x excepté celles pour lesquelles le dénominateur de f(x) est nul, car une division par zéro est indéfinie. Donc, nous devons exclure les valeurs pour lesquelles x - 2 = 0. Cela signifie que l'ensemble de définition de f est l'ensemble de tous les réels excepté x = 2.
Donc, l'ensemble de définition de f est : Df = ℝ \ {2} (l'ensemble des réels sauf 2).
2 . Calculer f'(x) :
Pour calculer la dérivée de f(x), nous utilisons la règle du quotient et la dérivée de chacune des fonctions qui composent le quotient. La dérivée de f(x) est :
f'(x) = [ (x^2 - x + 2)' * (x - 2) - (x^2 - x + 2) * (x - 2)' ] / (x - 2)^2
Calculons les dérivées des deux parties de la fonction :
f'(x) = [ (2x - 1) * (x - 2) - (x^2 - x + 2) * 1 ] / (x - 2)^2
f'(x) = [ 2x^2 - 5x + 2 - x^2 + x - 2 ] / (x - 2)^2
f'(x) = (x^2 - 4x) / (x - 2)^2
3 . En déduire le tableau de variation de f sur son ensemble de définition :
Pour étudier les variations de f sur son ensemble de définition, nous devons d'abord trouver les valeurs où f'(x) s'annule et détermine le signe de f'(x) entre ces valeurs. Cela nous permettra de construire le tableau de variation.
f'(x) s'annule lorsque x^2 - 4x = 0. Nous résolvons cette équation pour trouver les valeurs de x.
x^2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0
x = 0 ou x = 4
Maintenant, examinons le signe de f'(x) dans chaque intervalle délimité par ces valeurs.
Sur l'intervalle (-∞, 0), f'(x) est positif car le numérateur est positif et le dénominateur est positif.
Sur l'intervalle (0, 2), f'(x) est négatif car le numérateur est négatif et le dénominateur est positif.
Sur l'intervalle (2, 4), f'(x) est positif car le numérateur est positif et le dénominateur est positif.
Sur l'intervalle (4, +∞), f'(x) est négatif car le numérateur est négatif et le dénominateur est positif.
Maintenant, nous pouvons construire le tableau de variation de f sur son ensemble de définition en utilisant ces informations.
4 . Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 :
Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1, nous avons besoin de deux informations : la valeur de f(1) et la pente de la tangente à ce point, qui est donnée par f'(1).
Pour trouver f(1), nous substituons simplement x = 1 dans la fonction f(x) :
f(1) = (1^2 - 1 + 2) / (1 - 2) = 2 / -1 = -2
Pour trouver f'(1), nous substituons x = 1 dans la dérivée que nous avons déjà trouvée :
f'(1) = (1^2 - 4*1) / (1 - 2)^2 = (1 - 4) / 1 = -3
Maintenant, nous avons la valeur de f(1) et la pente de la tangente à ce point, donc nous pouvons utiliser la forme point-pente de l'équation de la droite pour trouver l'équation de la tangente :
y - y1 = m(x - x1)
En substituant les valeurs que nous avons trouvées, nous obtenons :
y + 2 = -3(x - 1)
Nous pouvons simplifier cette équation pour obtenir la forme standard de l'équation de la tangente.