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## Exercice 1: Inéquations et Vecteurs
**A.**
1. **2** : Pour vérifier, on peut remplacer x par 2 dans l'inéquation et voir si l'inégalité est vraie. En effet, 2 - 3(2^2 - 2) = -2 < 0.
2. **31/2** : On développe l'inéquation et on obtient 2x^2 - 11x + 17 > 0. On factorise le trinôme du second degré en trouvant ses racines : x = 1/2 et x = 17. On utilise ensuite le tableau de signes du trinôme pour déterminer les solutions : x < 1/2 ou x > 17. En regroupant les solutions, on obtient l'ensemble {x | x < 1/2 ou x > 17}. On peut également écrire cela sous forme d'intervalles : ]-∞, 1/2[ ∪ ]17, +∞[.
3. **solution** : L'inéquation 4x + 8 > 0 est toujours vraie, quel que soit x. Cela signifie que son ensemble de définition est R, l'ensemble des nombres réels.
4. **-2** : On développe l'inéquation et on obtient -2x + 3 > 4x + 8. On regroupe les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre côté, puis on résout en isolant x : x < -5/2. L'ensemble solution est donc ]-∞, -5/2[.
**B.**
-2, 3, -1
**Exercice 2.**
**1. Ensemble de définition et tableau de signes:**
**L = 6x + 12 / 4 - 2x:**
* **Ensemble de définition:** Tous les nombres réels sauf 2, car l'expression n'est pas définie pour x = 2.
* **Tableau de signes:**
| x < 2 | x = 2 | x > 2 |
|---|---|---|
| L < 0 | L non défini | L > 0 |
**U = (-3x + 8)(2x - 3):**
* **Ensemble de définition:** Tous les nombres réels.
* **Tableau de signes:**
| (2x - 3) | -3x + 8 | U |
|---|---|---|
| x < 3/2 | + | + |
| x = 3/2 | 0 | 0 |
| x > 3/2 | - | - |
**2. Résolution de l'inéquation 6x + 12 / 4 - 2x < 0:**
On développe l'inéquation et on obtient 2x + 3 < 0. On isole x en regroupant les termes : x < -3/2. L'ensemble solution est donc ]-∞, -3/2[.
**Exercice 3: Géométrie**
**1. Figure:**
[Image of a triangle with points A(-1; 1), B(2; 1), and C(-2; 3)]
**2. Coordonnées du point M:**
AM = 2BC, donc ||AM|| = 2||BC||. Les vecteurs AB et BC sont colinéaires, donc ||AB|| = 2||BC||. En utilisant la formule de la distance entre deux points, on obtient:
√((-1 - 2)^2 + (1 - 1)^2) = 2√((2 - (-2))^2 + (1 - 3)^2)
En résolvant, on trouve les coordonnées de M : M(-1; 3).
**3. Coordonnées du point P:**
+BP = 0, donc le vecteur BP est un vecteur nul. Cela signifie que le point P se trouve sur le milieu du segment AB. En utilisant les coordonnées des points A et B, on obtient les coordonnées de P : P(0; 1).
**4. Alignement des points B, M et P:**
On peut utiliser le théorème de Thalès pour montrer que les points B, M et P sont alignés. En effet, les triangles ABM et BPM sont homothétiques d'un facteur 2, donc leurs droites correspondantes sont parallèles. Or, les droites AM et BP sont parallèles par construction (car M est le milieu de BC). Par conséquent, les droites AB et MP sont également parallèles. Cela signifie que les points B, M et P sont colinéaires.
**Remarque:** On peut également vérifier l'al
**A.**
1. **2** : Pour vérifier, on peut remplacer x par 2 dans l'inéquation et voir si l'inégalité est vraie. En effet, 2 - 3(2^2 - 2) = -2 < 0.
2. **31/2** : On développe l'inéquation et on obtient 2x^2 - 11x + 17 > 0. On factorise le trinôme du second degré en trouvant ses racines : x = 1/2 et x = 17. On utilise ensuite le tableau de signes du trinôme pour déterminer les solutions : x < 1/2 ou x > 17. En regroupant les solutions, on obtient l'ensemble {x | x < 1/2 ou x > 17}. On peut également écrire cela sous forme d'intervalles : ]-∞, 1/2[ ∪ ]17, +∞[.
3. **solution** : L'inéquation 4x + 8 > 0 est toujours vraie, quel que soit x. Cela signifie que son ensemble de définition est R, l'ensemble des nombres réels.
4. **-2** : On développe l'inéquation et on obtient -2x + 3 > 4x + 8. On regroupe les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre côté, puis on résout en isolant x : x < -5/2. L'ensemble solution est donc ]-∞, -5/2[.
**B.**
-2, 3, -1
**Exercice 2.**
**1. Ensemble de définition et tableau de signes:**
**L = 6x + 12 / 4 - 2x:**
* **Ensemble de définition:** Tous les nombres réels sauf 2, car l'expression n'est pas définie pour x = 2.
* **Tableau de signes:**
| x < 2 | x = 2 | x > 2 |
|---|---|---|
| L < 0 | L non défini | L > 0 |
**U = (-3x + 8)(2x - 3):**
* **Ensemble de définition:** Tous les nombres réels.
* **Tableau de signes:**
| (2x - 3) | -3x + 8 | U |
|---|---|---|
| x < 3/2 | + | + |
| x = 3/2 | 0 | 0 |
| x > 3/2 | - | - |
**2. Résolution de l'inéquation 6x + 12 / 4 - 2x < 0:**
On développe l'inéquation et on obtient 2x + 3 < 0. On isole x en regroupant les termes : x < -3/2. L'ensemble solution est donc ]-∞, -3/2[.
**Exercice 3: Géométrie**
**1. Figure:**
[Image of a triangle with points A(-1; 1), B(2; 1), and C(-2; 3)]
**2. Coordonnées du point M:**
AM = 2BC, donc ||AM|| = 2||BC||. Les vecteurs AB et BC sont colinéaires, donc ||AB|| = 2||BC||. En utilisant la formule de la distance entre deux points, on obtient:
√((-1 - 2)^2 + (1 - 1)^2) = 2√((2 - (-2))^2 + (1 - 3)^2)
En résolvant, on trouve les coordonnées de M : M(-1; 3).
**3. Coordonnées du point P:**
+BP = 0, donc le vecteur BP est un vecteur nul. Cela signifie que le point P se trouve sur le milieu du segment AB. En utilisant les coordonnées des points A et B, on obtient les coordonnées de P : P(0; 1).
**4. Alignement des points B, M et P:**
On peut utiliser le théorème de Thalès pour montrer que les points B, M et P sont alignés. En effet, les triangles ABM et BPM sont homothétiques d'un facteur 2, donc leurs droites correspondantes sont parallèles. Or, les droites AM et BP sont parallèles par construction (car M est le milieu de BC). Par conséquent, les droites AB et MP sont également parallèles. Cela signifie que les points B, M et P sont colinéaires.
**Remarque:** On peut également vérifier l'al