Répondre :
1. Dérivabilité de la fonction f(x) = 5x² - 11x + 12 :
La fonction (f(x) = 5x^2 - 11x + 12) est un polynôme. Les polynômes sont des fonctions dérivables sur l’ensemble des réels (\mathbb{R}). Par conséquent, (f(x)) est dérivable sur (\mathbb{R}).
Calculons la dérivée de f(x) :
La dérivée de (f(x)) (notée (f’(x))) est obtenue en appliquant les règles de dérivation aux termes du polynôme :
[f’(x) = \frac{d}{dx}(5x^2) - \frac{d}{dx}(11x) + \frac{d}{dx}(12)]
La dérivée de (5x^2) par rapport à (x) est (10x).
La dérivée de (-11x) par rapport à (x) est (-11).
La dérivée de (12) (constante) par rapport à (x) est (0).
En somme, nous avons :
[f’(x) = 10x - 11]
2. Signe de f’(x) :
Pour étudier le signe de (f’(x)), trouvons les valeurs de (x) pour lesquelles (f’(x)) est nul :
[10x - 11 = 0] [10x = 11] [x = \frac{11}{10}]
Si (x < \frac{11}{10}), alors (f’(x) > 0).
Si (x > \frac{11}{10}), alors (f’(x) < 0).
3. Variations de la fonction f sur R :
La dérivée (f’(x)) est positive avant (x = \frac{11}{10}) et négative après.
Donc, la fonction (f(x)) est croissante sur (\left(-\infty, \frac{11}{10}\right)) et décroissante sur (\left(\frac{11}{10}, +\infty\right)).
En résumé, la fonction (f(x)) est croissante jusqu’à (x = \frac{11}{10}), puis décroissante. Elle atteint un minimum en ce point.
Si vous avez d’autres questions, n’hésitez pas !