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Réponse:
1)
a) Arbre de probabilités :
__(0.99)__ Processeur sans défaut (A)
/
(0.6) /
Fournisseur 1
\
__(0.01)__ Processeur avec défaut (¬A)
\
__(0.99)__ Processeur sans défaut (B)
/
(0.4) /
Fournisseur 2
\
__(0.05)__ Processeur avec défaut (¬B)
b) La probabilité que le processeur n'ait pas de défaut est calculée en utilisant la formule de probabilité totale :
\[P(\text{Sans défaut}) = P(A) \times P(\text{Sans défaut | A}) + P(B) \times P(\text{Sans défaut | B})\]
\[= 0.6 \times 0.99 + 0.4 \times 0.95 = 0.974\]
c) Pour calculer la probabilité que le processeur provienne du fournisseur 2 sachant qu'il a un défaut, on utilise le théorème de Bayes :
\[P(B | D) = \frac{P(D | B) \times P(B)}{P(D)}\]
\[= \frac{0.05 \times 0.4}{0.01 \times 0.6 + 0.05 \times 0.4} = \frac{0.02}{0.01 + 0.02} = \frac{0.02}{0.03} = \frac{2}{3} = 0.667\]
2)
L'entreprise veut que la probabilité d'avoir un processeur sans défaut soit de 98%. Soit p la proportion des processeurs achetés au fournisseur 1. La probabilité d'avoir un processeur sans défaut peut être exprimée comme suit :
\[0.6 \times 0.99 + 0.4 \times (1-p) \times 0.95 = 0.98\]
En résolvant cette équation pour p, on trouve que \(p \approx 0.9625\). Donc, l'entreprise devrait acheter environ 96.25% de ses processeurs auprès du fournisseur 1 pour atteindre cet objectif.
1)
a) L'arbre de probabilités peut être représenté comme suit :
```
A (0,60) B (0,40)
/ \ / \
D (0,01) ¬D (0,99) D (0,05) ¬D (0,95)
```
b) La probabilité que le processeur n'ait pas de défaut est égale à la probabilité de ne pas avoir de défaut en provenance du fournisseur 1 multipliée par la probabilité de choisir un processeur du fournisseur 1, ajoutée à la probabilité de ne pas avoir de défaut en provenance du fournisseur 2 multipliée par la probabilité de choisir un processeur du fournisseur 2 :
\[P(\neg D) = P(\neg D|A) \times P(A) + P(\neg D|B) \times P(B)\]
\[= 0,99 \times 0,60 + 0,95 \times 0,40\]
\[= 0,594 + 0,38\]
\[= 0,974\]
c) Sachant que le processeur a un défaut, la probabilité qu'il provienne du fournisseur 2 peut être calculée en utilisant le théorème de Bayes :
\[P(B|D) = \frac{P(D|B) \times P(B)}{P(D)}\]
\[= \frac{0,05 \times 0,40}{P(D|A) \times P(A) + P(D|B) \times P(B)}\]
\[= \frac{0,05 \times 0,40}{0,01 \times 0,60 + 0,05 \times 0,40}\]
\[= \frac{0,02}{0,006 + 0,02}\]
\[≈ \frac{0,02}{0,026}\]
\[≈ 0,769\]
2) Pour que la proportion de processeurs défectueux soit de 2%, nous avons besoin que la probabilité que le processeur ait un défaut soit de 0,02. Cela signifie que la probabilité que le processeur n'ait pas de défaut doit être de 0,98. Pour atteindre cet objectif, la proportion p des processeurs que l'entreprise doit acheter au fournisseur 1 peut être calculée comme suit :
\[P(\neg D) = P(\neg D|A) \times p + P(\neg D|B) \times (1-p) = 0,98\]
\[0,99p + 0,95(1-p) = 0,98\]
\[0,99p + 0,95 - 0,95p = 0,98\]
\[0,04p = 0,03\]
\[p = \frac{0,03}{0,04}\]
\[p = 0,75\]
Donc, l'entreprise doit acheter 75% de ses processeurs auprès du fournisseur 1 pour atteindre cet objectif.
a) L'arbre de probabilités peut être représenté comme suit :
```
A (0,60) B (0,40)
/ \ / \
D (0,01) ¬D (0,99) D (0,05) ¬D (0,95)
```
b) La probabilité que le processeur n'ait pas de défaut est égale à la probabilité de ne pas avoir de défaut en provenance du fournisseur 1 multipliée par la probabilité de choisir un processeur du fournisseur 1, ajoutée à la probabilité de ne pas avoir de défaut en provenance du fournisseur 2 multipliée par la probabilité de choisir un processeur du fournisseur 2 :
\[P(\neg D) = P(\neg D|A) \times P(A) + P(\neg D|B) \times P(B)\]
\[= 0,99 \times 0,60 + 0,95 \times 0,40\]
\[= 0,594 + 0,38\]
\[= 0,974\]
c) Sachant que le processeur a un défaut, la probabilité qu'il provienne du fournisseur 2 peut être calculée en utilisant le théorème de Bayes :
\[P(B|D) = \frac{P(D|B) \times P(B)}{P(D)}\]
\[= \frac{0,05 \times 0,40}{P(D|A) \times P(A) + P(D|B) \times P(B)}\]
\[= \frac{0,05 \times 0,40}{0,01 \times 0,60 + 0,05 \times 0,40}\]
\[= \frac{0,02}{0,006 + 0,02}\]
\[≈ \frac{0,02}{0,026}\]
\[≈ 0,769\]
2) Pour que la proportion de processeurs défectueux soit de 2%, nous avons besoin que la probabilité que le processeur ait un défaut soit de 0,02. Cela signifie que la probabilité que le processeur n'ait pas de défaut doit être de 0,98. Pour atteindre cet objectif, la proportion p des processeurs que l'entreprise doit acheter au fournisseur 1 peut être calculée comme suit :
\[P(\neg D) = P(\neg D|A) \times p + P(\neg D|B) \times (1-p) = 0,98\]
\[0,99p + 0,95(1-p) = 0,98\]
\[0,99p + 0,95 - 0,95p = 0,98\]
\[0,04p = 0,03\]
\[p = \frac{0,03}{0,04}\]
\[p = 0,75\]
Donc, l'entreprise doit acheter 75% de ses processeurs auprès du fournisseur 1 pour atteindre cet objectif.