Bonjour, pouvez vous résoudre cette exercice ? Merci d'avance .

Exercice: Étude de fonctions

PARTIE A

1. On considère la fonction g définie sur ] 0 ; +∞ [ par:

g(x) = 1 + x ^ 2 - 2x ^ 2 * ln(x)

a. Dresser le tableau de variation de g.

b. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solu- tion unique λ, puis que :

1, 89 < λ < 1, 90

c. Déduire de ce qui précède le signe de g(x)

2. On considère la fonction f définie sur ] 0 ; +∞ [ par:

f(x) = (ln(x))/(1 + x ^ 2)

a. Dresser le tableau de variation de f.

b. Vérifier que f(λ) = 1/(2λ ^ 2)

En déduire un encadrement de f(λ) d'amplitude 2 * 10 ^ - 3

c. Tracer la représentation graphique de f dans un plan rapporté à un repère orthogonal en prenant 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 20 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.

PARTIE B

On considère la fonction F définie sur [ 1 ; +∞ [ par:

F(x) = intégrale f(t)dt de 1 à x

1. Montrer que F est dérivable sur [ 1 ; +∞ [ et préciser l'expression de F'(x) pour x appartenant à [ 1 ; +∞ [
En déduire le sens de variation de F.

2. a. Vérifier que, pour t > ou = 1 on a:

(ln(t))/((1 + t) ^ 2) < ou = f(t) < ou = (ln(t))/(t ^ 2)

b. Pour x > ou = 1 on pose:

I(x) = intégrale (ln(t))/(t ^ 2)dt de 1 à x

À l'aide d'une intégration par parties, calculer I(x).

c. Pour x > ou = 1 on pose

J(x) = intégrale (ln(t))/((1 + t) ^ 2)dt de 1 à x

À l'aide d'une intégration par parties et de l'égalité suivante, calculer J(x) :

1/(t(t + 1)) = (1/t) - (1/(t+1)) pour t > ou = 1

d. Déduire de ce qui précède que, pour x > ou = 1, on a:

ln(2) + ln(x/(x + 1)) - (ln(x))/(x + 1) < ou = F(x) < ou = 1 - ((ln(x))/x) - (1/x)

e. On admet que lim F(x) = l (quand x tend vers +∞), avec l réel.
Sans calculer l, vérifier que ln(2) < ou = l < ou = 1.

3. Soit G la fonction définie sur [ 1 ; +∞ [ par:

G(x) = F(1/x) - F(x)

a. Calculer G'(x) pour x > ou = 1.

b. Vérifier que, pour tout x > ou = 1, G(x) = 0

c. En déduire une relation qui vérifie la fonction F.​