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Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
1)
Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x,
P(x)=(ax+b)*Q(x) ou -P(x)=(ax+b)*(-Q(x))
[tex]P(x)=-2x^3+7x^2-2x-3\\Q(x)=-x^2+4x-3\\\\-P(x)=2x^3-7x^2+2x+3\\-Q(x)=x^2-4x+3\\a) (ax+b)*(-Q(x))=(ax+b)(x^2-4x+3)=ax^3+bx^2-4ax^2-4bx+3ax+3b\\\\On\ a\ donc\ :\boxed{\left\{\begin{array}{ccc}a&=&2\\b&=&1\\\end {array} \right. }\\[/tex]
b) division euclidienne
[tex]\begin{array}{cccccc|ccc}&2x^3&-7x^2&+2x&+3&&x^2&-4x&+3\\&&&&&&---&---&---\\-(&2x^3&-8x^2&+6x&)&&2x&+1&\\&---&---&---&---&&---&---&---\\&&x^2&-4x&+3&&&&\\&-(&x^2&-4x&+3&)&&&\\&---&---&---&---&&&&\\&&&&0&&&&&\\\end {array}\\\boxed{\left\{\begin{array}{ccc}a&=&2\\b&=&1\\\end {array} \right. }\\\\[/tex]
2)
[tex]P(x)=-2x^3+7x^2-2x-3=-(2x+1)(x-1)(x-3)\\\\\begin{array}{c|ccccccc}x&&-\frac{1}{2}&&1&&3& \\----&--&--&--&--&--&--&--\\x-1&-&-&-&0&+&+&+\\x-3&-&-&-&-&-&0&+\\2x+1&-&0&+&+&+&+&+\\----&--&--&--&--&--&--&--\\-P(x)&-&0&+&0&-&0&+\\----&--&--&--&--&--&--&--\\P(x)&+&0&-&0&+&0&-\\\end {array}[/tex]
Réponse :
Explications étape par étape :
P(x)= -2x 3+7x²-2x-3
je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé
P(x)= -2x³+7x²-2x-3
Q(x)= -x²+4x-3
pour tout réel x, P(x) = (ax+b)Q(x)
a? b?
1a) méthode d'identification des coefficients
développons
(ax+b)Q(x) = (ax+b)(-x²+4x-3)
= - ax³ + 4a x² -3 ax - b x² + 4 bx - 3b
regroupement :
= - ax³ + (4a -b) x² + (-3a + 4b) x -3b
Puisque ce polynôme est égal à P(x) qq soit x, alors on peut identifier 2 à 2 les coeff
P(x)= -2x³+ 7x² -2x -3
Q(x) = - ax³ + (4a -b) x² + (-3a + 4b) x -3b
donc :
-2 = -a
7 = 4a -b
-2 = -3a+4b
-3 = -3b
Allons au plus simple :
a = 2
7 = 8 -b
-2 = -6 + 4b
b = 1
et finalement
a = 2
7 = 8-1 ok
-2 = -6 + 4 ok
b = 1
Solution :
a = 2
b = 1
ax+b = 2x+1
1b) division euclidienne
P(x)= -2x³+7x²-2x-3
Q(x)= -x²+4x-3
P(x) divisé par Q(x) :
-2x³+7x²-2x-3 | -x²+4x-3
| 2x
soit
-2x³+ 7x² -2x-3 | -x²+4x-3
-( -2x³ + 8x² -6x) | 2x
-----------------------------
-x² +4x -3
et enfin
-2x³+ 7x² -2x-3 | -x²+4x-3
-( -2x³ + 8x² -6x) | 2x + 1
-----------------------------
-x² +4x -3
-( -x²+4x-3)
------------------------------
0
donc :
a=2
b=1
ax+b = 2x+1
2)
Utilisons la factorisation de P(x) pour en étudier le signe
P(x) = (2x+1) ( -x²+4x-3 )
Factorisons -x²+4x-3
Pour cela, résoudre -x²+4x-3 = 0
Δ = 4² - 4 (-1)(3) = 16 -12 = 4
√Δ = 2
x = (-4 - √Δ ) / 2(-1) = ( -4 -2) / (-2) = -6/-2 = 3
x' = (-4 +√Δ ) / 2(-1) = ( -4 +2) / (-2) = -2/-2 = 1
Finalement, factorisons -x²+4x-3
-x²+4x-3 = - (x - 3) (x -1)
vérification : - (x - 3) (x -1) = -x² + x + 3x -3 = -x² + 4x -3
c'est bon !
Donc :
P(x) = (2x+1) ( -x²+4x-3 )
= (2x+1) (- (x - 3) (x -1) ) = - (2x+1) (x - 3) (x -1)
Etudions le signe :
x | -1/2 1 3
2x+1 | - 0 + | + | +
x-3 | - | - | - 0 +
x-1 | - | - 0 + | +
P(x) | + 0 - 0 + 0 -