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Réponse :
Soit une fonction définie sur (R;+) par f(x)=[(x-1)÷(x+1)]×e^{-x}
1) calcul la limite de f(x) lorsque x tend vers + infinie
lim f(x) = lim ((x - 1)/(x + 1))e⁻ˣ
x→+∞
lim (x - 1)/(x + 1) = lim x(1 - 1/x)/x(1 + 1/x) = lim (1 - 1/x)/(1 + 1/x)
x→ + ∞
or lim 1/x = 0 donc lim (x - 1)/(x + 1) = 1
x →+∞ x →+∞
et lime⁻ˣ = 0 donc par produit lim f(x) = 0
x →+ ∞ x →+∞
2) calcul f'(x), endeduire les variations de f(x) sur (R;+)
f est le produit de deux fonctions dérivables sur R+ donc f est dérivable sur R+ et sa dérivée f '(x) = (uv)' = u'v+v'u
u(x) = (x - 1)/(x + 1) ⇒ u'(x) = ((x + 1) - (x - 1))/(x + 1)² = 2/(x + 1)²
v(x) = e⁻ˣ ⇒ v'(x) = - e⁻ˣ
donc f '(x) = (2/(x + 1)²)e⁻ˣ - ((x - 1)/(x+1))e⁻ˣ
= (2/(x + 1)²)e⁻ˣ - ((x - 1)(x + 1)/(x+ 1)²)e⁻ˣ
= (2 - (x² - 1))/(x + 1)²)e⁻ˣ
donc f '(x) = ((3 - x²)/(x + 1)²)e⁻ˣ or e⁻ˣ > 0 et (x + 1)² > 0
donc le signe de f '(x) est du signe de 3 - x² = (√3 - x)(√3 + x)
or √3 + x > 0 donc le signe de f '(x) dépend que du signe de √3 - x
√3 - x ≥ 0 ⇔ - x ≥ - √3 ⇔ x ≤ √3 donc f '(x) ≥ 0 sur l'intervalle [0 ; √3]
alors f est croissante sur l'intervalle [0 ; √3]
et f '(x) ≤ 0 sur l'intervalle [√3 ; + ∞[ alors f est décroissante sur [√3;+∞[
x 0 √3 + ∞
f '(x) + 0 -
f(x) - 1 →→→→→→→→ f(√3) →→→→→→→ 0
croissante décroissante
f(√3) = (√3 - 1)/(√3 + 1))e^-√3 ≈ (0.732/2.732)/5.65 ≈ 0.047
3) détermine une équoition de la tangente de (T) à (c) en son point d'abscice 0.
f(0) = (0 - 1)/(0+1))e^0 = - 1
f '(0) = (3 - 0²)/(0+1)²)e^0 = 3
donc y = f(0) + f '(0)(x - 0) = - 1 + 3x
donc l'équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse 0
est y = 3x - 1
4) montrer que l'équation m: f(x)=0 admet une solution unique u.
. f est continue sur R+ car f est dérivable sur R+
. f est monotone
. f(0) = - 1 et lim f(x) en + ∞ = 0
d'après le TVI; l 'équation f(x) = 0 admet une solution unique u tel que
f(u) = 0
Montrer que u appartient à (1;2) et déterminer un encadrement d'amplitude 10^{-1} de u
comme u ∈ [0 ; + ∞[ et [1 ; 2] EST inclu dans [0 ; + ∞[ DONC u ∈ [1 ; 2]
Explications étape par étape :