Répondre :
Bonjour ,
Pour nous faciliter la vie dans le calcul de la dérivée , on va écrire :
f(x)=(4x²+12x+9)*exp(-x).
OK ?
f de la forme : u*v.
u=4x²+12x+9 donc u'=8x+12
v=exp(-x) donc v'=-exp(-x)
f '(x)=exp(-x)(8x+12)-exp(-x)(4x²+12x+9)
f '(x)=exp(-x)[(8x+12)-(4x²+12x+9)]
f '(x)=exp(-x)(8x+12-4x²-12x-9)
f '(x)=exp(-x)(-4x²-4x+3)
Donc f '(x) est du signe de (-4x²-4x+9) qui est > 0 entre ses racines car le coeff de x² est < 0.
Racines :
Δ=(-4)²-4(-4)(3)=64
√64=8
x₁=(4+8)/-8=-12/8=-3/2
x₂=(4-8)/-8=-4/-8=1/2
Variation de f(x) :
x------>-∞......................-3/2.......................1/2.................+∞
f '(x)--->..............-............0............+............0............-.............
f(x)--->.............D............0...............C..........≈8..........D.............
D=flèche vers le bas et C=flèche vers le haut.
Graph joint pour contrôle.
